渲染基础-图形数学

本篇讨论渲染过程中的几何数学问题。

参与计算的元素

坐标系：在Unity的Scene视图，可以看到这种Z轴朝里的坐标系。
矩阵，matrix：$M_{ij}$表示一个有i排j列的矩阵。
在3D几何中，矩阵表示变换，将一个顶点或向量进行平移/旋转/缩放。
$M = \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{bmatrix}$，取值时，M[0]表示第一排全部元素，M[0][1]表示第一排第2个元素。
三角形参数 π=180°；sin：对边/斜边；cos：临边/斜边；tan：对边/临边；cot：临边/对边。

矢量函数的几何意义

矢量 + 矢量 = 矢量

矢量 · 矢量 = 标量
点积，$dot(\overrightarrow{A}, \overrightarrow{B})$，可用于求夹角β、验证方向性，结果为$|\overrightarrow{A}| * |\overrightarrow{B}| * cos\beta$。
$dot((x, y, z), (a, b, c)) = ax + by + cz$

矢量 ✖ 矢量 = 矢量
叉积，$cross(\overrightarrow{A}, \overrightarrow{B})$，可用于求夹角β、验证三角面的朝向，结果长度为$|\overrightarrow{A}| * |\overrightarrow{B}| * sin\beta$。
$(x, y, z)\times (a,b,c)=(yc − zb, za − xc, xb − ya)$
平行的轴避免叉乘；交换叉积顺序导致结果反向。

矩阵 * 标量 = 矩阵

$$KM = Mk = k \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} km_{11} & km_{12} & km_{13} \\ km_{21} & km_{22} & km_{23} \\ km_{31} & km_{32} & km_{33} \end{bmatrix}$$

矩阵A * 矩阵B = 矩阵C

$$\begin{matrix} & \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ a_{43} & a_{42} \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34} \\ c_{41} & c_{42} & c_{43} & c_{44} \end{bmatrix} \end{matrix}$$

$$c_{11} = a_{11} * b_{11} + a_{12} * b_{21}$$

矩阵相乘，记作$M_{c} = mul(M_{a}, M_{b})$；

矩阵 * 矢量 = 矢量
矢量被转化为矩阵后可以与矩阵相乘，矢量在右边时作为列矩阵，矢量在左边时作为行矩阵。
矩阵与矢量的相乘可实现顶点位移、向量旋转、向量缩放。

顶点位移：

$$\begin{matrix} & \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & 0 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 & t_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} x + t_{x} \\ y + t_{y} \\ z + t_{z} \\ 1 \end{bmatrix} \end{matrix}$$

第四行是齐次坐标表示法，也可使用3X4矩阵运算。

绕X+轴顺时针旋转角度：

$$R_{x}(\beta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\beta & -sin\beta & 0 \\ 0 & sin\beta & cos\beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

原空间的X轴(1, 0, 0)，旋转后，依然是(1, 0, 0)；
原空间的Y轴(0, 1, 0)，旋转后是(0, cosβ, sinβ)，相当于Y轴向Z轴旋转β角度；
原空间的Z轴(0, 0, 1)，旋转后是(0, -sinβ, cosβ)，相当于Z轴向-Y轴旋转β角度；
3X3旋转矩阵中的每一列，对应着旧空间的XYZ轴在新空间的矢量。

绕Y+轴顺时针旋转角度：

$$R_{y}(\beta) = \begin{bmatrix} cos\beta & 0 & sin\beta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sin\beta & 0 & cos\beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

绕z轴旋转向量：

$$R_{z}(\beta) = \begin{bmatrix} cos\beta & -sin\beta & 0 & 0 \\ sin\beta & cos\beta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

缩放向量：

$$\begin{bmatrix} k_{x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & k_{y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

复合变换
Unity中约定变换的顺序为：缩放、旋转Z，旋转X，旋转Y、平移；
复合变换就相当于$Ms * M_{z} * M_{x} * M_{y} * M_{m} * \overrightarrow{A} = \overrightarrow{B}$，左右顺序不能乱。

特殊矩阵
单位矩阵：记作E，斜对角均为1，任何矩阵和单位矩阵相乘的结果都是原来的矩阵。

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

转置矩阵：将原矩阵的行列对调后得到转置矩阵。
正交矩阵：正交矩阵和他的转置矩阵的乘积是单位矩阵。
逆矩阵：$\overrightarrow{B} = mul(M, \overrightarrow{A});$ $\overrightarrow{A} = mul(M^{-1} , \overrightarrow{B});$
正交矩阵的转置矩阵和逆矩阵是一样的，在shader计算中广泛用转置矩阵代替逆矩阵。

计算一次从模型空间到屏幕

推导一次像素在屏幕的位置，熟悉shader计算流程。

模型空间-世界空间

在建模软件设置Cube
这里我使用Blender中的默认Cube，给其中一个面绘制贴图来表示正面；
这个面的右上角就是我想要计算的顶点，这里记作点P。

模型导入Unity
将Cube模型导入Unity，模型导入设置中反选掉Convert Units，并拖入场景，Reset模型GameObject的Transform属性。
可以看到Cube模型的宽度为2个Unit。 通过观察得出点P在世界空间中的位置为(1, -1, 1)。

不同软件之间的坐标轴差异
点P在Blender中的位置是(-1, -1, 1)，与Unity中相比，X轴值相反。
参考Blender模型导出设置中的Forward：-Z Forward Up：Y up。

旋转模型
为了让贴图了的那一面正着显示在屏幕上，将Rotation设置为(180, 0, 0)；
计算P在世界空间中的新位置：cos180 = -1，sin180 = 0，得到点(1, 1, -1)。

$$\begin{matrix} & \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\beta & -sin\beta & 0 \\ 0 & sin\beta & cos\beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{matrix}$$

世界空间-观察空间

观察空间是从摄像机的观察角度去描述空间关系，和世界空间类似。
观察空间是一个未经缩放过的三维空间，对世界空间进行旋转、平移、反转Z即可。
新建的默认场景，相机的rotation为(0, 0, 0)，position为(0, 1, -10)。
使用相机的Transform构建WorldToView矩阵，算出点P在观察空间位置为得到(1, 0, 9)。

$$\begin{matrix} & \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 9 \\ 1 \end{bmatrix} \end{matrix}$$

相机的模型空间与观察空间Z轴相反：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

P点其实没有动过，它在不同空间里面有不同的版本只是换了一个描述角度而已。
到这里，我们获得了在观察空间下P点的位置(1, 0, -9)。

观察空间-裁剪空间

裁剪空间进一步模拟视角。

视椎体：描述当前相机观察角度下，可被观察到的空间范围，类似于人眼。
本篇的主旨不在推导公式，这里直接抛出公式，主要讲相关应用。
Aspect：为屏幕的宽度/高度，近屏幕和原平面有相同的Aspect。
透视裁剪矩阵： 透视相机可以模拟出近大远小的效果，XYZ轴不等比例缩放。

$$M_{frustum} = \begin{bmatrix} \frac{cot\frac{FOV}{2}}{Aspect} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cot\frac{FOV}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{Far+Near}{Far-Near} & -\frac{2\cdot Near\cdot Far}{Far - Near} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

这个观察空间→裁剪空间的矩阵中对x、y、z分量进行的不同程度的缩放，z分量还做了平移。 这样的缩放的意义在于便于计算一个顶点是否在视椎体内。
左右分别表示观察空间和裁剪空间的视锥体。
除了XYZ轴缩放，原点位置从近平面外侧移$2\cdot Near$到了视锥体内，8个角落点也均可描述。
在裁剪空间中，在视椎体内的顶点的各分量范围均有限制。
$-w≤ x ≤ w$
$-w≤ y ≤ w$
$-w≤ z ≤ w$
当xyz不在范围内时表示这个点不在视锥体内。

正交相机
正交相机下物体不会因为远近变化而改变大小，2 * 相机Size = 远平面高度(Unit)。

$$M_{ortho} = \begin{bmatrix} \frac{1}{Aspect\cdot Size} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{Size} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{2}{Far-Near} & -\frac{Far+Near}{Far+Near} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

应用P矩阵
在上一步中，我得到了点P在观察空间中的位置(1,0,-9)，且设置屏幕比例为4:3。
相机是透视模式，Near=5，Far=10，角度为60度，$cot30^\circ = \sqrt{3}$。
使用透视裁剪矩阵乘以(1, 0, -9, 1)后得到(1.299, 0, 7, 9)，这个点在视椎体内。

透视裁剪空间-NDC

接下来需要对透视裁剪空间中的顶点P进行齐次去除，x、y、z分量都除以w分量。
透视裁剪空间此时变成了和正交裁剪空间一样的正方体。
点P的x、y、z分量除以W分量后得到新顶点(0.1443, 0, 0.7778)，
新坐标系称为NDC(Normalized Device Coordinates)，xyz分量的范围都是[-1, 1]。

NDC-屏幕空间

我们用的显示屏由大量的像素颗粒构成(LCD)，这里设置屏幕为400X300像素。
以屏幕左下角为原点建立坐标轴，可以用宽高的百分比、像素为位置描述。
NDC坐标换算成百分比坐标：$(x, y) =（0.5 * a + 0.5，0.5 * b + 0.5)$
百分比坐标换算成像素坐标：$(x, y) = (a * 400, b * 300)$
将NDC坐标(0.1443, 0, 0.7778)带入后得到百分比坐标(0.57215,0.5)，像素坐标(229,150)：
使用QQ截图可测量像素宽度(由2个像素左右误差)，得到计算结果与测量结果一致。

几何计算规律

正交矩阵：如果$A\cdot A^T = E$，E为单位矩阵，则A为正交矩阵。
例：$B = 5E; B\cdot B^T ≠ E$，正交矩阵的3个轴需要为单位向量，去除缩放和平移影响。

转置矩阵定义：将矩阵的横排与列排交换，总能转置。

$$(A\cdot B)^T = B^T \cdot A^T$$

逆矩阵定义：能取消一个矩阵的相乘效果的矩阵，几何上总能逆。

$$M\cdot M^{-1} = M^{-1}\cdot M = E$$

$$(M^{-1})^{-1} = M$$

逆转置矩阵：一个矩阵先求逆再转置，或者转置换再求逆，几何上总能逆转置。

$$(M^T)^{-1} = (M^{-1})^T$$

$$(A\cdot B)^{-1} = B^{-1}\cdot A^{-1}$$

$$(A\cdot B\cdot C\cdot D)^{-1} =D^{-1}\cdot C^{-1}\cdot B^{-1}\cdot A^{-1}$$

转置矩阵的活用
当B是由矢量b转化为的矩阵时，可以横着被右乘或者竖着左乘矩阵。
因为逆矩阵是非常难求的，我们经常用正交矩阵的转置作为逆矩阵，可简化求逆过程。

$$A\cdot \overrightarrow{b} \implies A\cdot B = (B^T \cdot A^T)^T = \overrightarrow{b} \cdot A^T$$

$$A^T\cdot \overrightarrow{b} \implies A^T\cdot B = (B^T \cdot A)^T = \overrightarrow{b} \cdot A$$

等比例缩放物体求逆矩阵
使用$\frac{1}{K}\cdot$ UNITY_MATRIX_T_MV作为ObjectToWorld的逆矩阵，K为缩放系数。

转置矩阵矫正法线方向

#ifdef UNITY_ASSUME_UNIFORM_SCALING
    output.normalWS = mul((float3x3)GetObjectToWorldMatrix(), input.normalOS);
#else
    output.normalWS = mul(input.normalOS, (float3x3)GetWorldToObjectMatrix());
#endif

我们对法线的定义是与表面垂直的向量，那么法线在世界空间与模型空间都应该垂直于表面。
当模型被非等比例缩放时，使用ObjectToWorld矩阵乘以法线得到的新矢量不再与表面垂直。
设ObjectToWorld矩阵为M，T为模型空间的切线向量，N为法线向量，期望的矩阵为G。

$$\overrightarrow{(M\cdot \overrightarrow{T})}\cdot \overrightarrow{(G\cdot \overrightarrow{N})} = 0$$

转换到世界空间后的切线和法线也应该垂直，也就是2个向量的点积为0。
如果把切线当成横向矩阵，法线当竖向矩阵，两个矩阵相乘模仿点积，结果也应为0。

$$(M\cdot \overrightarrow{T})^T\cdot (G\cdot \overrightarrow{N}) = 0$$

$$\overrightarrow{T}^T\cdot M^T\cdot G\cdot \overrightarrow{N} = 0$$

由于$\overrightarrow{T}^T\cdot \overrightarrow{N} = 0$，如果$M^T\cdot G = E$上式即可成立。
即$G =(M^T)^{-1} = (M^{-1})^T$，活用转置后：$G\cdot \overrightarrow{N} = \overrightarrow{N}^T\cdot M^{-1}$。
这里的$M^{-1}$也就是求ObjectToWorld矩阵的逆矩阵，WorldToObject矩阵。
如果物体是等比例缩放，就可以简化求逆过程；对于非统一缩放物体就必须计算逆矩阵了。

线性变换：可以保留矢量加和标量乘的变换，使用3X3矩阵。

$$f(x) + f(y) = f(x + y)$$

$$k\cdot f(x) = f(k\cdot x)$$

其中f(x)表示一个矩阵变换过程。 变换后相加=先相加后变换，先标量乘再变换=先变换再标量乘。
符合线性变换规律的有：缩放、旋转、错切、镜像、正交投影。
错切（shear）：比如移动正方形的一边使其变成一个平行四边形。
正交投影：观察空间-正交裁剪空间，去除位移部分，相当于把一个长方形变成正方形。